Сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130. Известно, что четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию. Найдите первый член арифметической прогрессии, при условии, что он не равен её второму члену.

1. Для арифметической прогрессии an имеем:

a4 = a1 + 3d; a7 = a1 + 6d; a10 = a1 + 9d; S13 = 13 (2a1 + 12d) / 2 = 13 (a1 + 6d).

2. Составим уравнения для условий задачи:

{a4 * a7 = a10^2;

{S13 = 130; { (a1 + 3d) (a1 + 6d) = (a1 + 9d) ^2;

{13 (a1 + 6d) = 130; {10 (a1 + 3d) = (a1 + 9d) ^2;

{a1 + 6d = 10; {10 (10 - 6d + 3d) = (10 - 6d + 9d) ^2;

{a1 = 10 - 6d; {10 (10 - 3d) = (10 + 3d) ^2;

{a1 = 10 - 6d; {100 - 30d = 100 + 60d + 9d^2;

{a1 = 10 - 6d; {d^2 + 10d = 0;

{a1 = 10 - 6d; {d (d + 10) = 0;

{a1 = 10 - 6d; {[d = 0, не соответствует условию a1 ≠ a2;

{[d + 10 = 0;

{a1 = 10 - 6d; {d = - 10;

{a1 = 10 - 6 * (-10); {d = - 10;

{a1 = 10 + 60; {d = - 10;

{a1 = 70.

Ответ: a1 = 70.