Длина и ширина прямоугольника составляют целое число сантиметров. Если отодвинуть каждую сторону на 1 см, площадь прямоугольника увеличится вдвое. Чему равна площадь исходного прямоугольника? Найдите все варианты ответа и докажите, что другие невозможны.

Обозначим длину прямоугольника через х, а ширину через у, тогда площадь прямоугольника будет: s = x * y.

Если увеличить длину каждой стороны прямоугольника на один, то новый прямоугольник будет иметь длину (х + 2), ширина (у + 2) и площадь S = (x+2) * (y+2).

По условию задачи S = 2s → (x + 2) (y + 2) = 2xy → xy + 2x + 2y + 4 = 2xy → 2x + 2y + 4 = xy.

Решение уравнения найдем подбором:

возьмем у = 1, тогда 2 х + 6 = х - уравнение не будет имеет положительных корней;

возьмем у = 2, тогда 2 х + 8 = 2 х - уравнение тоже не имеет положительных корней;

возьмем у = 3, тогда 2 х + 10 = 3 х → х = 10;

возьмем у = 4, тогда 2 х + 12 = 4 х → х = 6;

возьмем у = 5, тогда 2 х + 14 = 5 х → 3 х = 14 - уравнение не имеет натуральных корней;

возьмем у = 6, тогда 2 х + 16 = 6 х →x = 4;

возьмем у = 7, тогда 2 х + 18 = 7 х - уравнение не имеет натуральных корней;

возьмем у = 8, тогда 2 х + 20 = 8 х - уравнение не имеет натуральных корней;

возьмем у = 9, тогда 2 х + 22 = 9 х - уравнение не имеет натуральных корней;

возьмем у = 10, тогда 2 х + 24 = 10 х → х = 3.

Получается, что из рассмотренных вариантов подошли только два, это прямоугольники со сторонами: 3 и 10; 4 и 6.