Найдите сумму всех корней уравнения log5 (3⋅2^ (x+1) - 2^ (-x) ⋅5^ (2x+1)) = x+log5 (13).

log5 (3 * 2^ (x + 1) - 2^ (-x) * 5^ (2 * x + 1)) = x + log5 (13).

log5 (3 * 2^ (x + 1) - 2^ (-x) * 5^ (2 * x + 1)) = log5 5^x + log5 (13).

log5 (3 * 2^ (x + 1) - 2^ (-x) * 5^ (2 * x + 1)) - log5 5^x = log5 (13).

log5 (3 * 2^ (x + 1) - 2^ (-x) * 5^ (2 * x + 1)) / (5^x) = log5 (13).

(3 * 2^ (x + 1) - 2^ (-x) * 5^ (2 * x + 1)) / (5^x) = 13.

(3 * 2 * 2^x) / (5^x) - 2^ (-x) * 5^ (x + 1) = 13.

(6 * 2^x) / (5^x) - 5 * 5^ (x) / (2^x)) = 13.

Обозначим (2^x) / (5^x) = t.

Тогда,

6 * t - 5/t = 13.

6 * t^2 - 13t - 5 = 0.

D = b^2 - 4 * a * c = 169 - 4 * 6 * ( - 5) = 289.

t1,2 = (13 ± √D) / (2 * a) = (13 ± 17) / 12.

t1 = 30/12 = 5/2.

t2 = - 4/12 = - 1/3.

1) (2^x) / (5^x) = 5/2.

(2/5) ^x = (2/5) ^ (-1).

x = - 1.

2) (2^x) / (5^x) = - 1/3.

(2/5) ^x = - 1/3.

Log (2/5) (2/5) ^x = log (2/5) (-1/3).

Логарифм отрицательных чисел не существует, значит t2 = - 1/3 не подходит по условию.

Сумма корней равна единственному корню уравнения, то есть ( - 1).