Содержит ли область значений функции y=-4x²+4√5x - 5 + √3 отрезок [0; √2

1. Вынесем знак 'минус' за скобки и выделим полный квадрат двучлена:

y = - 4x^2 + 4√5x - 5 + √3; y = - (4x^2 - 4√5x + 5) + √3; y = - (2x - √5) ^2 + √3. (1)

2. Из уравнения (1) следует, что график функции - парабола, ветви направлены вниз, а координаты ее вершины равны:

x0 = √5/2; y0 = √3.

3. Функция своего наибольшего значения: ymax = √3, достигает в вершине параболы, следовательно, областью значений функции является промежуток (-∞; √3], который охватывает заданный отрезок [0; √2], поскольку √3 > √2.

Ответ: содержит.