При каких значениях параметра а область значений функции y=ax^+x+1 содержит отрезок - 1 до 1.

При а = 0 функция y = ax^2 + x + 1 принимает вид у = х + 1, ее графиком является прямая, а областью значения является все вещественная прямая.

Следовательно, при а = 0 область значений функции у = аx^2 + x + 1 содержит отрезок [-1; 1].

При а ≠ 0 графиком функции у = аx^2 + x + 1 является парабола, областью значений которой является промежуток от ординаты вершины параболы до + ∞ при а > 0 и промежуток от - ∞ до ординаты вершины параболы при а < 0.

Следовательно, при а > 0 область значений функции у = аx^2 + x + 1 будет содержать отрезок [-1; 1], если ордината вершины параболы будет лежать ниже точки - 1 или совпадать с нею, а при а < 0 - если ордината вершины параболы будет выше ниже точки 1 или совпадать с нею.

Находим ординату вершины параболы,

у' = (аx^2 + x + 1) ' = 2ax + 1 = 0;

2ax = - 1;

x = - 1 / (2a);

y (-1 / (2a)) = а * (-1 / (2a)) ^2 - 1 / (2a) + 1 = а * 1 / (4a^2) - 1 / (2a) + 1 = 1 / (4a) - 1 / (2a) + 1 = - 1 / (4a) + 1.

Находим при каких положительных значениях а будет выполняться неравенство:

-1 / (4a) + 1 < = - 1;

1 / (4a) > = 2;

a < = 1/8.

Находим при каких отрицательных значениях а будет выполняться неравенство:

-1 / (4a) + 1 > = 1;

-1 / (4a) > = 0;

a < 0.

Таким образом, область значений функции у = аx^2 + x + 1 содержит отрезок [-1; 1] при a < = 1/8.

Ответ: при a < = 1/8.