Известно, что А и Б такие положительные действительные числа, для которых выполняется неравенство А + Б = А2 + Б2. Докажите, что А4 + Б4 больше или равна А3 + Б3. А3-А в третей степени, и в таком роде ...

1. Дано:

a > 0; b > 0; a + b = a^2 + b^2. (1)

Доказать, что:

a^4 + b^4 ≥ a^3 + b^3. (2)

2. Исследуем уравнение (1):

a^2 - a + b^2 - b = 0; a (a - 1) + b (b - 1) = 0. (3)

Из уравнения (3) следует, что одно из слагаемых не больше нуля, другое - не меньше нуля. Без потери общности, предположим:

{a (a - 1) ≥ 0;

{b (b - 1) ≤ 0.

Поскольку a > 0, b > 0, то:

{a - 1 ≥ 0;

{b - 1 ≤ 0; {a ≥ 1;

{b ≤ 1.

3. Для разности выражений получим:

A = (a^4 + b^4) - (a^3 + b^3); A = a^3 (a - 1) + b^3 (b - 1); A = a^2 * a (a - 1) - b^2 * a (a - 1); A = a (a - 1) (a^2 - b^2); A = a (a - 1) (a + b) (a - b). (4)

Все множители неотрицательны, следовательно:

A ≥ 0; (a^4 + b^4) - (a^3 + b^3) ≥ 0; a^4 + b^4 ≥ a^3 + b^3.

Что и требовалось.