Имелось 2016 чисел ни одно из которых не равно нулю. Для каждой пары чисел записали их произведение. Докажите, что среди выписанных произведений не менее трети положительные.

Пусть среди этих 2016 чисел было n отрицательных. Тогда было записано n (2016 - n) отрицательных произведений.

По неравенству о средних можно записать:

√n (2016 - n) ≤ 2016/2;

Количество отрицательных произведений число положительное, значит, при возведении в квадрат неравенство не меняет знак.

n (2016 - n) ≤ (2016/2) ^2;

Количество произведений для каждой пары чисел равно:

(2016 · 2015) / 2.

Значит, доля отрицательных произведений не больше чем 2/3 всех выписанных произведений:

1008^2 / (1008 · 2015) = 1008 / 2015 < 2/3.

Тогда доля положительных произведений не меньше, чем 1/3.