докажите что при любом натуральном n выражение 5n^3-5n делится на 30

Если докажем, что выражение 5n³ - 5n делится и на 3, и на 10, то все выражение будет делиться на 30.

5n³ - 5n. Преобразуем выражение.

Вынесем за скобку общий множитель 5n:

5n (n² - 1).

Разложим скобку на две скобки по формуле разности квадратов.

5n (n - 1) (n + 1).

Получится выражение:

5 * (n - 1) * n * (n + 1).

Числа (n - 1), n и (n + 1) представляют собой три последовательных числа (например, 4, 5 и 6). Среди трех последовательных чисел одно точно будет делиться на 3.

Среди трех последовательных чисел точно есть как минимум одно четное число. Четное число при умножении на 5 даст число, которое делится на 10.

Значит, выражение 5n³ - 5n делится на 3 и на 10, то есть делится на 30.