Решите уравнение 2/tg^2x+7/tgx+5=0

Произведем замену переменных t = tg (x), тогда:

2/t^2 + 7/t + 5 = 0.

Домножив уравнение на t^2:

5t^2 + 7t + 2 = 0.

Корни квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются по формуле: x12 = (-b + - √ (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (-7 + - √ (49 - 4 * 5 * 2)) / 2 * 5 = (-7 + - 3) / 10;

t1 = (-3 - 7) / 10 = - 1; t2 = (-7 + 3) / 10 = - 4/10.

Обратная замена:

tg (x) = - 1;

x1 = arctg (-1) + - π * n, где n натуральное число;

tg (x) = - 4/10;

x2 = arctg (-4/10) + - π * n.

Ответ: x принадлежит {arctg (-1) + - π * n; arctg (-4/10) + - π * n}.