Брат и сестра по очереди из одного пакета берут конфеты: брат - одну конфету, а сестра - две, брат - три конфеты, а сестра - четыре, брат - пять, сестра - шесть и т. д. Когда конфет в пакете осталось меньше, чем должен взять тот, чья очередь наступила, он забрал все оставшиеся. Сколько конфет было в пакете, если у брата в итоге оказалась 101 конфета?

Брат берет конфеты: 1 - 3 - 5, сестра: 2 - 4 - 6. В обоих случаях арифметическая прогрессия. Найдем разность арифметической прогрессии для брата: d=5-3=3-1=2. Т. к. известна сумма (101), найдем количество членов арифметической прогрессии, т. е. то число раз, когда брат брал конфеты: S=n * ((2*a1+d (n-1)) / 2=101; n * ((2*1+2 * (n-1)) / 2=101; n * (2+2n-2) / 2=101; n*n=101; n^2=101; чтобы n было целым числом, ближайший квадрат это 100 и n=10, а это значит, что брат брал конфеты 11 раз, забрав остаток. Тогда сумма конфет у сестры: S=n * ((2*a1+d (n-1)) / 2=10 * ((2*2+2 (10-1)) / 2=10*11=110 (разность арифметической прогрессии для сестры: d=6-4=4-2=2). Ответ: в пакете было 101+110=211 конфет.