Боря и Миша поочерёдно берут конфеты из огромной вазы. Боря берёт одну конфету, Миша - две, затем Боря берёт три конфеты, Миша - четыре, и т. д. Когда количество оставшихся в вазе конфет станет меньше того количества, которое должен брать тот, чья очередь наступила, он берёт все оставшиеся конфеты. В итоге у Бори оказалось 60 конфет. Сколько конфет было в вазе первоначально? А. 109 Б. 111 В. 114 Г. 116

Боря берет 1, 3, 5 и т. д.

Миша берёт 2,4,6 и т. д.

Получим две арифметические прогрессии. Из первой прогрессии найдём n-ый член прогрессии, где разность d = 2:

Sn = ((2a1 + (n-1) * d) / 2) * n = ((2 + (n-1) * 2) / 2) * n = n^2. То есть сумма прогрессии равна 49 при n = 7 и 64 при n = 8. Значит Боре не хватило того количества, которое он должен был взять и он добрал оставшиеся конфеты, следовательно n = 7.

Миша хватило конфет в своей очереди. Найдем сумму всех конфет, которые он взял (n = 7):

2,4,6,8,10,12,14. Значит, а1 = 2, аn = 14.

S7 = ((a1 + an) / 2) * n = ((2 + 14) / 2) * 7 = 56 конфет у Миши.

Первоначально в корзине было 60 + 56 = 116 конфет.