Как решить? Доказать, что делится на 7: 4^ (3n-3) - 2^3n

1. Составим сравнение для степени 4:

4^1 ≡ 4 (mod 7); 4^3 ≡ 64 (mod 7); 4^3 ≡ 1 (mod 7); (4^3) ^ (n - 1) ≡ 1 (mod 7); 4^ (3 (n - 1)) ≡ 1 (mod 7); 4^ (3n - 3) ≡ 1 (mod 7). (1)

2. Составим сравнение для степени 2:

2^1 ≡ 2 (mod 7); 2^3 ≡ 8 (mod 7); 2^3 ≡ 1 (mod 7); (2^3) ^n ≡ 1 (mod 7); 2^ (3n) ≡ 1 (mod 7). (2)

3. Вычтем почленно из сравнения (1) сравнение (2):

4^ (3n - 3) - 2^ (3n) ≡ 0 (mod 7). (3)

4. Сравнение (3) означает не что иное, как то, что левая его часть делится без остатка на 7, что и требовалось доказать.