Задачи, решаемые составлением систем уравнений. Гипотенуза прямоугольника треугольника равна 10 см, а сумма катетов 14 см. Найдите площадь треугольника.

Обозначим длины катетов данного прямоугольного треугольника через х и у.

В условии задачи сказано, что сумма катетов этого треугольника равна 14 см, следовательно, имеет место следующее соотношение:

х + у = 14.

Также в условии задачи сказано, что гипотенуза этого треугольника равна 10 см, следовательно, используя теорему Пифагора, получаем следующее уравнение:

х^2 + y^2 = 10^2.

Решаем полученную систему уравнений.

Подставляя во второе уравнение значение х = 14 - у из первого уравнения, получаем:

(14 - у) ^2 + y^2 = 10^2;

196 - 28 у + y^2 + y^2 = 100;

2y^2 - 28 у + 196 - 100 = 0;

2y^2 - 28 у + 96 = 0;

y^2 - 14 у + 48 = 0;

у = 7 ± √ (49 - 48) = 7 ± √1 = 7 ± 1;

у1 = 7 + 1 = 8;

у2 = 7 - 1 = 6.

Находим х:

х1 = 14 - х1 = 14 - 8 = 6;

х2 = 14 - х2 = 14 - 6 = 8.

Ответ: длины катетов равны 6 см и 8 см.