У многоугольника провели все диагонали. Их оказалось 15. Сколько вершин у этого многоугольника?

Докажем, что у выпуклого n-угольника есть n * (n - 3) / 2 диагоналей.

Выберем любую из n вершин. Очевидно, что ее можно соединить диагоналями с n - 3 вершинами, так как для самой вершины и двух соседних с ней вершин диагоналей нет. Тогда всего диагоналей будет n * (n - 3), но каждая будет подсчитана по 2 раза, т. к. подсчет вели для каждой диагонали с 2-х вершин. Следовательно, всего n * (n - 3) / 2 диагоналей.

По условию задачи, у многоугольника 15 диагоналей. Тогда:

n * (n - 3) / 2 = 15,

n^2 - 3 * n - 30 = 0,

D = 9 + 4 * 30 = 129.

√D = √129 - не является целым числом, поэтому не существует целого n решения уравнения.

Значит, не существует многоугольника с 15 диагоналями.