Найдите промежутки монотонности функции f (x) = (x+2) ^2/x-1

Найти промежутки монотонности, это значит найти промежутки возрастания и убывания функции. Сделаем это при помощи производной и метода интервалов.

Найдем производную функции f (x) = (x + 2) ^2 / (x - 1) по формуле (u/v) ' = (u'v - uv') / v^2.

f' (x) = ((x + 2) ^2 / (x - 1)) ' = (((x + 2) ^2) ' * (x - 1) - (x + 2) ^2 * (x - 1) ') / (x - 1) ^2 = (2 (x + 2) (x - 1) - (x + 2) ^2) / (x - 1) ^2 = ((2x + 4) (x - 1) - (x^2 - 4x + 4)) / (x - 1) ^2 = (2x^2 - 2x + 4x - 4 - x^2 + 4x - 4) / (x - 1) ^2 = (x^2 - 2x - 8) / (x - 1) ^2

Найдем нули функции (x^2 - 2x - 8) / (x - 1) ^2.

(x^2 - 2x - 8) / (x - 1) ^2 = 0 - числитель равен 0, а знаменатель - нет.

1) x^2 - 2x - 8 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 2) ^2 - 4 * 1 * ( - 8) = 4 + 32 = 36; √D = 6;

x = ( - b ± √D) / (2a);

x1 = (2 + 6) / 2 = 8/2 = 4;

x2 = (2 - 6) / 2 = - 4/2 = - 2.

2) (x - 1) ^2 ≠ 0;

x - 1 ≠ 0;

x ≠ 1.

Отметим числа ( - 2), 1, 4 на числовой прямой. Эти числа делят прямую на 4 интервала: 1) ( - ∞; - 2), 2) ( - 2; 1), 3) (1; 4), 4) (4; + ∞).

Проверим знак производной в каждом интервале. Для этого подставим значения из промежутков в выражение (x^2 - 2x - 8) / (x - 1) ^2. Это выражение положительно на 1 и 4 промежутках и отрицательно на 2 и 3 промежутках.

Если производная функции на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает, а если производная отрицательна на интервале, то функция на данном интервале убывает.

Функция f (x) = (x + 2) ^2 / (x - 1) возрастает на ( - ∞; - 2), (4; + ∞). и убывает на ( - 2; 1), (1; 4).