Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех ее членов, стоящих на нечетных местах, в 4 раза больше суммы всех ее членов, стоящих на четных местах, и сумма первых трех членов прогрессии равна 63.

Из различия в суммах вытекает, что после каждого члена на четном месте следует в 4 раза меньший член на нечетном месте. Отсюда легко определяем знаменатель прогрессии:

b_2n+1 = b_2n/4;

q = b_2n+1 / b_2n = (b_2n/4) / b_2n = 1/4;

Сумма геометрической прогрессии:

S_n = (b₁ (q^n - 1)) / (q - 1).

Сумма первых трех членов прогрессии:

63 = (b₁ (1/4^3 - 1)) / (1/4 - 1);

Первый член прогрессии:

b₁ = (63 * (-3/4)) / (-63/64) = (63 * 3 * 64) / (4 * 63) = 48.

Сумма бесконечной прогрессии:

S = b₁ / (1 - q) = 48 / (1 - 1/4) = 48 / (3/4) = 64.

Ответ: 64.