1. Найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии, произведение третьего и пятого членов которой равно второму члену, а сумма первого и восьмого членов равна 2. 2. В геометрической прогрессии b5+b2-b4=66; b6+b3-b5=-132. Найти b15 3. Число членов геометрической прогрессии чётное. Сумма всех её членов в три раза больше суммы членов, которые находятся на нечётных местах. Найти знаменатель прогрессии.

1. Из условия задачи:

a₃ * a₅ = a₂,

a₁ + a₈ = 2.

Из второго выражения определим а₁:

а₁ + a₁ + d * (8 - 1) = 2;

2a₁ + 7d = 2;

а₁ = (2 - 7d) / 2;

_A1 = 1 - 3.5d.

Подставим значение а₁ в первое выражение и решим его:

(а1 + 2d) * (a1 + 4d) = a1 + d;

(1 - 3.5d + 2d) * (1 - 3.5d + 4d) = 1 - 3.5d + d;

(1 - 1.5d) * (1 + 0.5d) = 1 - 2.5d;

1 + 0.5d - 1.5d - 0.75d2 - 1 + 2.5d = 0

-0.75d2 + 1.5d = 0

d * (-0.75d + 1.5) = 0

d₁ = 0 _d2 = 2.

При d = 0 все члены прогрессии равны числу а, что не удовлетворяет условию задачи.

Значит разность данной арифметической прогрессии d = 2, тогда а₁ = 1 - 3,5 * 2 = - 6.

Определим сумму первых семи членов этой прогрессии:

S7 = (2 * (-6) + (7 - 1) * 2) / 2 * 7 = 0.

Ответ: сумма первых семи членов этой прогрессии равна 0.

2. b₅ + b₂ - b₄ = 66,

b₆ + b₃ - b₅ = - 132.

b₁ * q⁴ + b₁ * q - b₁ * q³ = 66,

b₁ * q⁵ + b₁ * q² - b₁ * q⁴ = - 132.

Вынесем q за скобки из второго выражения:

q * (b₁ * q⁴ + b₁ * q - b₁ * q³) = - 132;

q * (66) = - 132;

q = - 2.

Определим b₁ и затем b₁₅:

b₁ * q⁴ + b₁ * q - b₁ * q³ = 66;

b₁ * (q⁴ + q - q³) = 66;

b₁ * ((-2) ⁴ + (-2) - (-2) ³) = 66;

22b₁ = 66;

b₁ = 3.

b₁₅ = 3 * (-2) ¹⁴ = 49152.

Ответ: d₁₅ равен 49152.

3. Из условия:

b₁ * q + b₁ * q³ + b₁ * q⁵ ... + b₁ * q ^(k-1) = 3 * (b₁ + b₁ * q² + b₁ * q⁴ ... b₁ * q ^(t-1) ),

где k - четные номера, t - нечетные.

Вынесем из левой части уравнения q за скобки:

q * (b₁ + b₁ * q² + b₁ * q⁴ ... b₁ * q^t) = 3 * (b₁ + b₁ * q² + b₁ * q⁴ ... b₁ * q ^(t-1) );

q = 3.

Ответ: разность данной геометрической прогрессии равна 3.