В 21 кучу разложили 200 орехов докажите что существуют две кучи в которых орехов поровну?

Если бы во всех кучах было разное количество орехов, то орехов всего было бы не меньше, чем: 0 + 2 + 3 + ... + 20. Это арифметическая прогрессия. Сумма её членов равна:

S = (a1 + a21) · n / 2 = (0 + 20) · 21 / 2 = 210;

Раскладывали 200 орехов, 200 < 210, значит, обязательно в каких-то двух кучах будет одинаковое количество орехов.