При каком значении x квадратный трехчлен x^2+10x+32 принимает наименьшее значение. Найдите это значение.

Чтобы найти минимальное (максимальное) значение многочлена, нужно найти нули производной, определить знаки на каждом промежутке.

у = x^2 + 10x + 32.

Найдем производную данной функции:

y' = 2 х + 10.

Найдем нули производной:

y' = 0; 2 х + 10 = 0; 2 х = - 10; х = - 10/2 = - 5.

Определяем знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; - 5) берем х = - 6: 2 * (-6) + 10 = - 12 + 10 = - 2, производная отрицательна, функция убывает.

(-5; + ∞) берем х = 0, 2 * 0 + 10 = 10, производная положительна, функция возрастает.

Функция сначала убывала, потом стала возрастать, значит, точка х = - 5 это точка минимума функции.

Ответ: трехчлен принимает минимальное значение в точке х = - 5.