Найти корни уравнения (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) = 3

От перемены мест множителей произведение не меняется. Поэтому выполним умножение первого множителя с четвертым, и второго с третьим.

((х + 1) (х + 4)) ((х + 2) (х + 3)) = 3;

(х^2 + 4 х + х + 4) (х^2 + 3 х + 2 х + 6) = 3;

(х^2 + 5 х + 4) (х^2 + 5 х + 6) = 3.

Введём новую переменную х^2 + 5 х = у.

(у + 4) (у + 6) = 3;

у^2 + 6 у + 4 у + 24 = 3;

у^2 + 10 у + 24 - 3 = 0;

у^2 + 10 у + 21 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 10^2 - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16; √D = 4;

x = (-b ± √D) / (2a);

у1 = (-10 + 4) / 2 = - 6/2 = - 3;

у2 = (-10 - 4) / 2 = - 14/2 = - 7.

Выполним обратную подстановку.

1) х^2 + 5 х = - 3;

х^2 + 5 х + 3 = 0;

D = 5^2 - 4 * 1 * 3 = 25 - 12 = 13;

х1 = (-5 + √13) / 2;

х2 = (-5 - √13) / 2.

2) х^2 + 5 х = - 7;

х^2 + 5 х + 7 = 0;

D = 5^2 - 4 * 1 * 7 = 25 - 28 = - 3 < 0.

Корней нет, т. к. дискриминант отрицательный.

Ответ. (-5 + √13) / 2; (-5 - √13) / 2.