Выяснить, делится ли многочлен P (x) на x-a, если:P (x) = 7x^16+4x^13-3x^10, a=-1

Для решения задачи разложим многочлен на множители.

Вынесем х^10 за скобку:

P (x) = 7x^16 + 4x^13 - 3x^10;

P (x) = x^10 * (7x^6 + 4x^3 - 3).

Рассмотрим отдельно скобку (7x^6 + 4x^3 - 3). Для разложения ее на множители надо приравнять ее к 0 и произвести подстановку t = x^3. Получаем:

7x^6 + 4x^3 - 3 = 0;

7t^2 + 4t - 3 = 0.

Найдем корни полученного уравнения:

D' = (4/2) ^2 - 7 * (-3);

D' = 4 + 21;

D' = 25;

√D' = 5.

t1 = (-2 + 5) / 7 = 3/7;

t2 = (-2 - 5) / 7 = - 1.

Теперь мы можем разложить это уравнение на множители используя его корни:

7t^2 + 4t - 3 = 0;

7 * (t + 1) * (t - 3/7) = 0.

Проведем обратную замену:

7 * (t + 1) * (t - 3/7) = 0;

7 * (x^3 + 1) * (x^3 - 3/7) = 0.

Преобразуем наш многочлен в соответствии с найденным разложением:

P (x) = x^10 * (7x^6 + 4x^3 - 3);

P (x) = x^10 * 7 * (x^3 + 1) * (x^3 - 3/7).

Разложим скобку (x^3 + 1) по формуле суммы квадратов:

P (x) = x^10 * 7 * (x^3 + 1) * (x^3 - 3/7);

P (x) = x^10 * 7 * (x + 1) * (x^2 - x + 1) * (x^3 - 3/7).

Наш многочлен должен делится на х - а, при а = - 1. Следовательно, он должен делится на х - (-1) = х + 1. В нашем разложении присутствует такой множитель, а значит весь многочлен делится на х + 1.

Ответ: делится.