Решительно уравнения: А) 4 cos°x-3cosx-1=0. (° - в квадрате!) Б) 2 cos°•3x=3 sin•3x В) 8 sin x + 5 = 2 cos•2x Г) 2tgx+ctgx-3=0

А) 4cos^2 (x) - 3cos (x) - 1 = 0.

Введем новую переменную, пусть cos (x) = а.

Получается уравнение 4 а^2 - 3 а - 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 4; b = - 3; c = - 1;

D = b^2 - 4ac; D = (-3) ^2 - 4 * 4 * (-1) = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (3 - 5) / (2 * 4) = - 2/8 = - 1/4.

а₂ = (3 + 5) / 8 = 8/8 = 1.

Возвращаемся к замене cos (x) = а.

1) cos (x) = - 1/4; х = ±arccos (-1/4) + 2 Пn, n - целое число.

2) cos (x) = 1; х = 2 Пn, n - целое число.

Б) 2cos^2 (3x) = 3sin (3x).

2cos^2 (3x) - 3sin (3x) = 0.

Представим cos^2 (3x) как (1 - sin^2 (3x)).

2 (1 - sin^2 (3x)) - 3sin (3x) = 0;

2 - 2sin^2 (3x) - 3sin (3x) = 0;

-2sin^2 (3x) - 3sin (3x) + 2 = 0; умножим на (-1):

2sin^2 (3x) + 3sin (3x) - 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть sin (3x) = а.

Получается уравнение 2 а^2 + 3 а - 2 = 0.

D = b^2 - 4ac; D = 3^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

а₁ = (-3 - 5) / (2 * 2) = - 8/4 = - 2.

а₂ = (-3 + 5) / 4 = 2/4 = 1/2.

Возвращаемся к замене sin (3x) = а.

1) sin (3x) = - 2 (не может быть, синус не может быть меньше - 1).

2) sin (3x) = 1/2; 3 х = П/6 + 2 Пn, х = ±П/12 + 2/3 Пn, n - целое число.

3 х = 5 П/6 + 2 Пn, х = ±5 П/12 + 2/3 Пn, n - целое число.

В) 8sinx + 5 = 2cos (2x).

8sinx + 5 - 2cos (2x) = 0.

Представим cos (2x) как (1 - 2sin^2x) по формуле двойного угла.

8sinx + 5 - 2 (1 - 2sin^2x) = 0;

8sinx + 5 - 2 + 4sin^2x = 0;

4sin^2x + 8sinx + 3 = 0.

Введем новую переменную, пусть sinx = а.

Получается уравнение 4 а^2 + 8 а + 3 = 0.

D = b^2 - 4ac; D = 8^2 - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16 (√D = 4);

а₁ = (-8 - 4) / (2 * 4) = - 12/8 = - 1,5.

а₂ = (-8 + 4) / 8 = - 4/8 = - 1/2.

Возвращаемся к замене sinx = а.

1) sinx = - 1,5 (не может быть, синус не может быть меньше - 1).

2) sinx = - 1/2; х = - П/6 + 2 Пn, n - целое число.

х = - 5 П/6 + 2 Пn, n - целое число.

Г) 2tgx + ctgx - 3 = 0.

Представим ctgx как 1/tgx (это обратные функции).

2tgx + 1/tgx - 3 = 0.

Введем новую переменную, пусть tgx = а.

Получается уравнение 2 а + 1/а - 3 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(2 а^2 - 3 а + 1) / а = 0.

ОДЗ: а не равно 0.

2 а^2 - 3 а + 1 = 0.

D = b^2 - 4ac; D = (-3) ^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = (√D = 1);

а₁ = (3 - 1) / (2 * 2) = 2/4 = 1/2.

а₂ = (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1.

Возвращаемся к замене tgx = а.

1) tgx = 1/2; х = arctg (1/2) + Пn, n - целое число.

2) tgx = 1; х = П/4 + Пn, х = ±П/12 + 2/3 Пn, n - целое число.