Найдите, при каких значениях параметра m трехчлен второй степени (3-4m) x^2+3 (m-1) x-2 (m-1) представляет полный квадрат двучлена.

Трехчлен второй степени может быть представлен как полный квадрат двучлена,

если дискриминант трехчлена второй степени равен нулю. Докажем этот факт.

f (x) = a * x^2 + b * x + c = a * (x^2 + b / a * x + c / a) =

= a * (x^2 + 2 * b / (2 * a) * x + (b / (2 * a)) ^2 - (b / (2 * a)) ^2 + c / a) =

= a * ((x + b / (2 * a)) ^2 - ((b / (2 * a)) ^2 - c / a)).

Пусть d = (b / (2 * a)) ^2 - c / a = b^2 / 4 * a^2 - c / a = (b^2 - 4 * a * c) / 4 * a^2.

D = b^2 - 4 * a * c.

Если D < 0, то, очевидно, f (x) не может равняться нулю.

Если D > = 0, то

f (x) = a * ((x + b / (2 * a)) ^2 - √D / (2 * a) ^2) =

= a * (x + b / (2 * a) - √D / 2 * a) * (x + b / (2 * a) + √D / 2 * a).

Только при D = 0 f (x) может быть полным квадратом двучлена.

В нашем случае:

D = (3 * (m - 1)) ^2 + 4 * (3 - 4 * m) * 2 * (m - 1) =

= 9 * (m - 1) ^2 + 8 * (m - 1) * (3 - 4 * m) =

= (m - 1) * (9 * m - 9 + 24 - 32 * m) = (m - 1) * (15 - 23 * m) = 0.

Значит, D = 0 при m = 1 или m = 15/23.

Ответ: 1 или 15/23.