Найдите натуральное число N, для которого N+53 и N - 36 полные квадраты

Составление уравнений для полных квадратов

Согласно условию задачи, выражения n + 53 и n - 36 являются квадратами натуральных чисел:

n + 53 = a²; (1)

n - 36 = b², (2)

где a и b - некоторые натуральные числа.

Вычисление значений переменных a и b

Для нахождения переменных a и b, из уравнения (1) вычтем уравнение (2):

(n + 53) - (n - 36) = a² - b²; n + 53 - n + 36 = a² - b²; a² - b² = 89; (a + b) * (a - b) = 89. (3)

Левая часть уравнения (3) является произведением двух натуральных чисел, а правая часть - простое число. Поскольку любое простое число имеет только два делителя: единица и само число, то для множителей a + b и a - b верны равенства:

a + b = 89; (4)

a - b = 1. (5)

Сложив и вычтя уравнения (4) и (5), получим значения переменных a и b:

(a + b) + (a - b) = 89 + 1;

a + b + a - b = 90;

2a = 90;

a = 45.

(a + b) - (a - b) = 89 - 1;

a + b - a + b = 88;

2b = 88;

b = 44.

Вычисление значения переменной n

Подставив значение любого из переменных a или b в уравнение (1) или (2), получим искомое натуральное число n:

n = a² - 53 = 45² - 53 = 2025 - 53 = 1972, или

n = b² + 36 = 44² + 36 = 1936 + 36 = 1972.

В обоих вычислениях получили один и тот же результат, следовательно, число 1972 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1972.

Cоставим и решим уравнение:

х^2 - у^2 = N + 53 - N + 36;

х^2 - у^2 = 89 (простое число);

(х - у) * (х + у) = 89;

х - у = 1;

х + у = 89;

Значит:

х = 45, а у = 44.

х^2 = 45^2 = 2025;

у^2 = 44^2 = 1936;

Значит:

N = 1936 + 36 = 1972, или N = 2025 - 53 = 1972

Ответ: N = 1972.