F (x) = -1/5x^5+x+4 найдите экстремум функции

F (x) = - 1/5x^5 + x + 4 - найдем производную;

F' (x) = ( - 1/5 x^5 + x + 4) ' = - x^4 + 1 - найдем нули производной;

- x^4 + 1 = 0;

- x^4 = - 1;

x^4 = 1;

x1 = 1, x2 = - 1.

Отметим на числовой прямой точки ( - 1) и 1. Они поделят числовую прямую на три интервала: 1) ( - ∞; - 1), 2) ( - 1; 1), 3) (1; + ∞). Определим знак производной в каждом промежутке. На 1 и 3 промежутках производная функции отрицательна, а на 2 промежутке - положительна.

Если производная функции на интервале принимает положительные значения, то сама функция на этом интервале возрастает. Если производная функции на интервале принимает отрицательные значения, то сама функция на этом интервале убывает. Значит функция F (x) = - 1/5x^5 + x + 4 убывает на 1 и 3 интервалах и возрастает на 2 интервале.

Если функция в точке меняет возрастание на убывание, то эта точка будет точкой максимума. Если функция в точке меняет убывание на возрастание, то эта точка будет точкой минимума.

Значит точка х = - 1 - точка минимума, а х = 1 - максимума.

F ( - 1) = - 1/5 * ( - 1) ^5 - 1 + 4 = 3,2

F (1) = - 1/5 * 1^5 + 1 + 4 = 4,8

Ответ. Точка минимума ( - 1; 3,2), точка максимума (1; 4,8)