найти экстремум функции z=x^2+y^2-8x-2

Рассмотрим функцию двух переменных z = x² + y² - 8 * x - 2. По требованию задания, найдём экстремумы функции (если таковые существуют). На начальном этапе решения, нужно отыскать стационарные точки. Для этого найдём частные производные 1-го порядка. При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным: ∂z/∂x = ∂ (x² + y² - 8 * x - 2) / ∂x = 2 * x - 8. При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным: ∂z/∂y = ∂ (x² + y² - 8 * x - 2) / ∂y = 2 * y. Приравнивая найденные первые производные к нулю, решим систему 2 * x - 8 = 0, 2 * y = 0. В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Нетрудно убедиться, что она имеет решение х = 4, у = 0 Таким образом, нашли одну стационарную точку М (4; 0). Теперь необходимо проверить достаточное условие экстремума функции двух переменных, для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке М. Введём следующие обозначения: A = ∂²z/∂x² (M), B = ∂²z/∂x∂y (M) и С = ∂²z/∂y² (М). Вычислим: ∂²z/∂x² = ∂ (2 * x - 8) / ∂x = 2, значит, A = 2. Аналогично, ∂²z/∂x∂y = ∂ (2 * y) / ∂x = ∂ (2 * x - 8) / ∂у = 0, значит, В = 0. Наконец, ∂²z/∂y² = ∂ (2 * y) / ∂у = 2, значит, С = 2. Вычислим: А * С - В² = 2 * 2 - 0² = 4 - 0 = 4. Поскольку А * С - В² = 4 > 0, то в точке M есть экстремум, и так как A >0, то это - минимум. Осталось его найти. Вычислим: z (М) = 4² + 0² - 8 * 4 - 2 = 16 - 32 - 2 = - 18.

Ответ: Функция z = x² + y² - 8 * x - 2 имеет одну экстремальную точку (4; 0), где достигается минимум и z_мин = - 18.