Найти экстремум функции Z=x²+y²-3xy-x-y

Рассмотрим функцию двух переменных z = x² + y² - 3 * x * y - x - y. По требованию задания, найдём экстремумы функции (если таковые существуют). На начальном этапе решения, нужно отыскать стационарные точки. Для этого найдём частные производные 1-го порядка. При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным: ∂z/∂x = ∂ (x² + y² - 3 * x * y - x - y) / ∂x = 2 * x - 3 * y - 1. При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным: ∂z/∂y = ∂ (x² + y² - 3 * x * y - x - y) / ∂y = 2 * y - 3 * x - 1. Приравнивая найденные первые производные к нулю, решим систему 2 * x - 3 * y - 1 = 0, 2 * y - 3 * x - 1 = 0. В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Нетрудно убедиться, что она имеет решение х = - 1, у = - 1. Таким образом, нашли одну стационарную точку М (-1; - 1). Теперь необходимо проверить достаточное условие экстремума функции двух переменных, для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке М. Введём следующие обозначения: A = ∂²z/∂x² (M), B = ∂²z/∂x∂y (M) и С = ∂²z/∂y² (М). Вычислим: ∂²z/∂x² = ∂ (2 * x - 3 * y - 1) / ∂x = 2, значит, A = 2. Аналогично, ∂²z/∂x∂y = ∂ (2 * y - 3 * x - 1) / ∂x = ∂ (2 * x - 3 * y - 1) / ∂у = - 3, значит, В = - 3. Наконец, ∂²z/∂y² = ∂ (2 * y - 3 * x - 1) / ∂у = 2, значит, С = 2. Вычислим: А * С - В² = 2 * 2 - (-3) ² = 4 - 9 = - 5. Поскольку А * С - В² = - 5 < 0, то в точке М нет экстремума.

Ответ: Данная функция не имеет экстремума.