Решить задачу, используя экстремум целевой функции. При каком значении высоты h и радиуса основания R вместимость конуса будет наибольшей? Образующая конуса l равна 120 см.

Т. к. по теореме Пифагора l² = h² + R² = 120² = 14400, то выразим отсюда квадрат радиуса:

R² = 14400 - h².

Т. к. объём конуса:

V = pi * R² * h / 3, то, подставив в эту формулу выражение для квадрата радиуса, получим зависимость V (h):

V (h) = 4800 * pi * h - pi * h³ / 3.

Максимизируем данную функцию, найдя производную и точки, где она не существует или равна нулю:

V' (h) = 4800 * pi - pi * h².

Нули производной:

h = - 40 * √3,

h = 40 * √3 см.

Точка h = 40 * √3 максимизирует исходную функцию.

Радиус конуса:

R = √ (14400 - h²) = √ (14400 - 4800) = √9600 = 40 * √6 см.

Объём: V = 128000 * √3 * pi см³.