найдите произведение корней уравнения (x-2) (x-3) (x+4) (x+5) = 170

Умножим первую и третью скобки, и умножим вторую и четвертую скобки по правилу умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

((х - 2) (х + 4)) ((х - 3) (х + 5)) = 170;

(х^2 + 4 х - 2 х - 8) (х^2 + 5 х - 3 х - 15) = 170;

(х^2 + 2 х - 8) (х^2 + 2 х - 15) = 170.

Введём новую переменную х^2 + 2 х = у.

(у - 8) (у - 15) = 170;

у^2 - 15 у - 8 у + 120 - 170 = 0;

у^2 - 23 у - 50 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-23) ^2 - 4 * 1 * (-50) = 529 + 200 = 729; √D = 27;

x = (-b ± √D) / (2a);

у1 = (23 + 27) / 2 = 50/2 = 25;

у2 = (23 - 27) / 2 = - 4/2 = - 2.

Выполним обратную подстановку.

1) х^2 + 2 х = 25;

х^2 + 2 х - 25 = 0;

D = 2^2 - 4 * 1 * (-25) = 104 > 0, значит уравнение имеет два корня.

По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену.

х1 * х2 = - 25.

2) х^2 + 2 х = - 2;

х^2 + 2 х + 2 = 0;

D = 2^2 - 4 * 2 = - 4 < 0, значит, уравнение не имеет корней.

Ответ. - 25.