Докажите, что если n - натуральное число, то n^2+n+4 не делится на 11

Пусть натуральное число n делится на 11 с некоторым остатком с. Тогда число с может принимать значения от 0 до 10 и n можно записать в виде n = 11k + c, где k - некоторое целое число.

Тогда выражение n^2 + n + 4 можно записать в виде:

(11k + c) ^2 + 11k + c + 4 = 121k^2 + 22k + c^2 + 11k + c + 4 = 121k^2 + 33k + c^2 + c + 4 = 11 * (k^2 + 3k) + c^2 + c + 4.

Покажем, что выражение c^2 + c + 4 не делится на 11 ни при каком целом значении с от 0 до 10;

0^2 + 0 + 4 = 4, не делится на 11;

1^2 + 1 + 4 = 6, не делится на 11;

2^2 + 2 + 4 = 10, не делится на 11;

3^2 + 3 + 4 = 16, не делится на 11;

4^2 + 4 + 4 = 24, не делится на 11;

5^2 + 5 + 4 = 34, не делится на 11;

6^2 + 6 + 4 = 46, не делится на 11;

7^2 + 7 + 4 = 60, не делится на 11;

8^2 + 8 + 4 = 76, не делится на 11;

9^2 + 9 + 4 = 94, не делится на 11;

10^2 + 10 + 4 = 104, не делится на 11.

Следовательно, ни при каком натуральном значении n выражение n^2 + n + 4 не делится на 11.