Помогите). Чему равен радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если его гипотенуза равна 25 см, а один из катетов на 5 см больше другого?

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, находится по формуле r = √ ((p - a) (p - b) (p - c)) / p, где p - это полупериметр, p = (a + b + c) / 2, a, b, c - стороны треугольника.

Найдем неизвестные катеты треугольника. Пусть один катет равен х см, тогда второй катет равен (х + 5) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы 25^2 равен сумме квадратов катетов x^2 + (x + 5) ^2. Составим уравнение и решим его.

x^2 + (x + 5) ^2 = 25^2 - раскроем скобку по формуле квадрата суммы двух выражений (a + b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2;

x^2 + x^2 + 10x + 25 - 625 = 0;

2x^2 + 10x - 600 = 0;

x^2 + 5x - 300 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 5^2 - 4 * 1 * ( - 300) = 25 + 1200 = 1225; √D = 35;

x = ( - b ± √D) / (2a);

x1 = ( - 5 + 35) / 2 = 30/2 = 15;

x2 = ( - 5 - 35) / 2 = - 40/2 = - 20 - длина не может быть отрицательной.

x + 5 = 15 + 5 = 20.

Катеты равны 15 см, 20 см и гипотенуза 25 см. Найдем полупериметр p = (15 + 20 + 25) / 2 = 60/2 = 30.

r = √ ((30 - 25) (30 - 15) (30 - 20)) / 30 = √ ((5 * 15 * 10) / 30) = √ (750/30) = √25 = 5 (см)

Ответ. 5 см.