При каких значениях a и b многочлен P (x) делится без остатка на x^2-x-2 P (x) = 2x^4+ax^3+bx-2

1. Если P (x) делится без остатка на A (x), то:

A (x) * B (x) = P (x), (1) где

P (x) = 2x^4 + ax^3 + bx - 2; A (x) = x^2 - x - 2; B (x) = px^2 + qx + r.

2. Очевидно, что p = 2; r = 1. Умножим многочлены:

A (x) * B (x) = (x^2 - x - 2) (px^2 + qx + r);

A (x) * B (x) = (x^2 - x - 2) (2x^2 + qx + 1);

A (x) * B (x) = 2x^4 + qx^3 + x^2 - 2x^3 - qx^2 - x - 4x^2 - 2qx - 2;

A (x) * B (x) = 2x^4 + (q - 2) x^3 - (q + 3) x^2 - (2q + 1) x - 2.

3. Сравнив с коэффициентами P (x), получим:

{q + 3 = 0;

{q - 2 = a;

{ - (2q + 1) = b; {q = - 3;

{a = q - 2;

{b = - 2q - 1; {q = - 3;

{a = - 3 - 2;

{b = - 2 * (-3) - 1; {q = - 3;

{a = - 5;

{b = 5.

Ответ: a = - 5; b = 5.