А, В и С - углы треугольника, противолежащие сторонам а, в, с. Может ли быть sin A + sin B = sin C?

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Кроме того, для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов) : а / sinA = b / sinB = с / sinС = 2 * R, где a, b, c - стороны треугольника; A, B, С - углы треугольника, R - радиус описанной окружности. Согласно теореме синусов, имеем а = 2 * R * sinA, b = 2 * R * sinВ, с = 2 * R * sinС. Сложим первые два равенства. Тогда, получим a + b = 2 * R * (sinA + sinB) и с = 2 * R * sinС. Отсюда (a + b) / c = (sinA + sinB) / sinС. Допустим, что выполняется равенство, приведённое в описании задание, то есть выполняется условие sinA + sinB = sinС. Тогда правая часть последнего равенства п. 2 равна sinС / sinС = 1. Следовательно, и левая часть упомянутого равенства равна 1, то есть (a + b) / c = 1. Из этого равенства получим a + b = с, что противоречит свойству любого треугольника: "У треугольника сумма любых двух сторон больше третьей".

Ответ: Нет, не может.