Докажите тождетсво tg2a*1-tg^2a/1+tg^2a=sin2a

Используя то, что tg (a) = sin (a) / cos (a), преобразуем выражение (1 - tg^2 (a)) / (1 + tg^2 (a)):

(1 - tg^2 (a)) / (1 + tg^2 (a)) = (1 - (sin (a) / cos (a)) ^2) / (1 + (sin (a) / cos (a)) ^2) = (1 - sin^2 (a) / cos^2 (a)) / (1 + sin^2 (a) / cos^2 (a)) = ((cos^2 (a) - sin^2 (a)) / cos^2 (a)) / ((cos^2 (a) + sin^2 (a)) / cos^2 (a)) = (cos^2 (a) - sin^2 (a)) / (cos^2 (a) + sin^2 (a)).

Так как cos^2 (a) - sin^2 (a) = cos (2a) и cos^2 (a) + sin^2 (a) = 1, получаем:

(cos^2 (a) - sin^2 (a)) / (cos^2 (a) + sin^2 (a)) = cos (2a) / 1 = cos (2a).

Следовательно:

tg (2a) * (1 - tg^2 (a)) / (1 + tg^2 (a)) = tg (2a) * cos (2a) = (sin (2a) / cos (2a)) * cos (2a) = sin (2a).