Решить: 4cos^2 (31pi/6) + tg^2 (11pi/3) + ctg^2 (29pi/4)

Данное тригонометрическое выражение обозначим через Т = 4 * cos² (31 * π/6) + tg² (11 * π/3) + ctg² (29 * π/4). Как известно, функция у = cosх имеет период, равный 2 * π. Очевидно, что 31 * π/6 = 2 * (2 * π) + 7 * π/6. Учитывая периодичность косинуса, имеем cos (31 * π/6) = cos (2 * (2 * π) + 7 * π/6) = cos (7 * π/6). Теперь, учитывая, что 7 * π/6 = π + π/6, применим следующую формулу приведения cos (π + α) = - cosα. Тогда, получим: cos (7 * π/6) = cos (π + π/6) = - cos (π/6) = - √ (3) / 2. Для того, чтобы вычислить значение тригонометрического выражения tg (11 * π/3) воспользуемся тем, что функция у = tgх имеет период, равный π. Поделим 11 на 3 с остатком. Имеем 11 : 3 = 3 (остаток 2). Значит, справедливо tg (11 * π/3) = tg (3 * π + 2 * π/3) = tg (2 * π/3). Теперь, учитывая, что 2 * π/3 = π - π/3, применим следующую формулу приведения tg (π - α) = - tgα. Тогда, получим: tg (2 * π/3) = - tg (π/3) = - √ (3). Аналогично вычислим значение тригонометрического выражения ctg (29 * π/4) учитывая, что функция у = сtgх имеет период, равный π. Поделим 29 на 4 с остатком 29 : 4 = 7 (остаток 1). Значит, справедливо сtg (29 * π/4) = сtg (7 * π + π/4) = сtg (π/4) = 1. Результаты трёх предыдущих пунктов подставим на сои места в Т = 4 * (-√ (3) / 2) ² + (-√ (3)) ² + 1² = 4 * 3 / 4 + 3 + 1 = 7.

Ответ: 7.