Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=x3+3x2-45x-2 на отрезке [0; 2]

1. Найдем первую производную функции:

у' = (х^3 + 3 х^2 - 45 х - 2) ' = 3 х^2 + 6 х - 45.

2. Приравняем эту производную к нулю:

3 х^2 + 6 х - 45 = 0.

Поделим уравнение на 3:

х^2 + 2 х - 15 = 0.

D = b^2 - 4ac = 4 + 4 * 15 = 4 + 60 = 64.

x1 = (-b + √D) / 2a = (-2 + 8) / 2 = 6/2 = 3;

x2 = (-b - √D) / 2a = (-2 - 8) / 2 = - 10/2 = - 5.

Эти точки не пренадлежат заданному отрезку.

3. Найдем значение функции на концах заданного отрезка [0; 2]:

у (0) = - 2;

у (2) = 2^3 + 3 * 2^2 - 45 * 2 - 2 = 8 + 12 - 90 - 2 = 20 - 92 = - 72.

Ответ: fmax = - 2, fmin = - 72.