X^2+y^2-4x+2y+5>либо равно 0 докажите справедливость неравенства

Докажите, что при любых значениях x и y верно неравенство:

x² + y² - 4x + 2y + 5 ≥ 0.

Доказательство.

1. Преобразуем левую часть неравенства:

x² + y² - 4x + 2y + 5 = (x² - 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = (x - 2) ² + (y + 1) ².

2. Поскольку при любом значении x верно неравенство:

(x - 2) ² ≥ 0,

и при любом значении y верно неравенство:

(y + 1) ² ≥ 0,

то при любых значениях x и y верно неравенство:

(x - 2) ² + (y + 1) ² ≥ 0,

следовательно, верно и неравенство:

x² + y² - 4x + 2y + 5 ≥ 0.