На доске написано число 12, в течении каждой минуты число либо умножают либо делят либо на 2 либо на 3 и результат записывают на доску вместо исходного числа. докажите что число которое будет написано на доске ровно через час не будет равно 54

Разложим исходное число 12 на простые множители;

12 = 2 · 2 · 3;

Через каждую минуту к нему добавляется один сомножитель или он убавляется. Значит, каждую минуту меняется четность количества сомножителей. У исходного числа 12 количество сомножителей три - нечетное число. При нечетной минуте 1 число сомножителей будет четно. И так далее, при нечетной минуте количество сомножителей четное, а при четной минуте - нечетное.

В разложении 54 = 2 · 3 · 3 · 3 четыре сомножителя - четное количество, но на 60-й минуте количество сомножителей должно быть нечетным. Значит число 54 появиться не может.