Иследовать на экстремум заданную функцию y = (4-x) ^3/8+x^2

1. Производная:

y = (4 - x) ^3 / (8 + x^2); y' = { ((4 - x) ^3) ' * (8 + x^2) - (4 - x) ^3 * (8 + x^2) '} / (8 + x^2) ^2; y' = {-3 (4 - x) ^2 * (8 + x^2) - 2x (4 - x) ^3} / (8 + x^2) ^2; y' = {-3 (x - 4) ^2 * (8 + x^2) + 2x (x - 4) ^3} / (8 + x^2) ^2; y' = (x - 4) ^2{-3 (8 + x^2) + 2x (x - 4) } / (8 + x^2) ^2; y' = (x - 4) ^2{-24 - 3x^2 + 2x^2 - 8x} / (8 + x^2) ^2; y' = - (x - 4) ^2 (x^2 + 8x + 24) / (8 + x^2) ^2.

2. Стационарные точки:

(x - 4) ^2 (x^2 + 8x + 24) = 0;

1) x - 4 = 0;

x = 4;

2) x^2 + 8x + 24 = 0;

D/4 = 4^2 - 24 < 0 - нет корней.

3. Единственная стационарная точка x = 4 не является точкой экстремума, поскольку функция убывает на всем множестве действительных чисел:

y' (x) ≤ 0.

Ответ: функция не имеет экстремумов.