К графику функции y=1/2x^2 в точках A (-1; 1/2) и B (1; 1/2) проведены касательные. Найдите угол (в градусах) между этими касательными.

Сначала составим уравнения касательных к графику функции y = ½ * x². Для этого применим уравнение касательной y = f (x₀) + f ꞌ (x₀) * (x - x₀) к графику функции y = f (x) в точке х₀. а) В точке A (-1; ½). Поскольку х₀ = - 1, то у (-1) = ½ * (-1) ² = ½. Найдём производную: yꞌ = (½ * x²) ꞌ = ½ * 2 * х^{2 - 1} = х. Вычислим значение производной в точке х₀ = - 1. Имеем: уꞌ (-1) = - 1. Уравнение касательной имеет вид: у = ½ + (-1) * (х - (-1)) или х + у + ½ = 0. б) В точке В (1; ½). Поскольку х₀ = 1, то у (1) = ½ * 1² = ½. Имеем: уꞌ (1) = 1. Уравнение касательной имеет вид: у = ½ + 1 * (х - 1) или х - у - ½ = 0. Если две прямые заданы общими уравнениями А * x + В * у + С = 0 и P * x + Q * у + S = 0 то угол φ между этими прямыми можно найти по формуле cosφ = (А * P + В * Q) / [√ (А² + В²) * √ (P² + Q²) ]. Для нашего примера: А = 1, В = 1, P = 1, Q = - 1. Следовательно, cosφ = (1 * 1 + 1 * (-1)) / [√ (1² + 1²) * √ (1² + (-1) ²) ] = (1 - 1) / (√ (2) * √ (2)) = 0. Это означает, что φ = 90°, другими словами, эти прямые перпендикулярны между собой.

Ответ: 90°.