Sin2a-sina / 1-cosa+cos2a = tga

Решение тригонометрического уравнения sin2a-sina / 1-cosa+cos2a = tga.

Формулы, которые понадобятся нам в решении этого уравнения tga = sina/cosa; sin2a = 2sinacosa (Синус двойного угла); cos2a = cos²a - sin²a (Косинус двойного угла); cos²a + sin²a = 1 (Основное тригонометрическое тождество). Преобразуем числитель

Так как данный пример - это уравнение, то левая часть должна обязательно равняться правой.

Что бы подтвердить данное равенство, следует упростить левую часть уравнения. Итак, сначала преобразуем числитель:

sin2a-sina;

Применяем формулу синуса двойного угла для sin2a и получаем;

2sinacosa-sina;

Мы видим, что sina повторяется 2 раза, поэтому его можно вынести за скобки;

sina (2cosa-1);

Преобразуем знаменатель

Теперь нам нужно преобразовать знаменатель данного выражения;

1-cosa+cos2a;

Обратим внимание на cos2a, для него можно применить формулу косинуса двойного угла;

1 - cosa + cos²a - sin²a;

Из-за sin²a мы не можем не упростить знаменатель, поэтому, с помощью формулы "основное тригонометрическое тождество" превращаем sin2a в 1 - cos2a;

1 - cosa + cos²a - 1 + cos²a;

Далее складываем и вычитаем подобные выражения, получим;

2cos²a - сosa;

Мы видим, что cosa повторяется дважды и поэтому выносим его за скобки;

сosa (2cosa-1).

Доказательство уравнения

После проведения всех манипуляций с числителем и знаменателем, обнаруживаем, что 2cos-1 встречается как в числителе, так и в знаменателе. Сокращаем их и получаем;

sina/cosa=tg;

По первой формуле определяем, что sina/cosa-tga;

Таким образом tg=tg;

Уравнение доказано.

Разложим числитель дроби:

sin2a - sina = 2 * cosa * sina - sina = sina * (2 * cosa - 1);

Разложим знаменатель дроби:

1 - cosa + cos2a = 1 - cosa + 2 * cos^2a - 1 = 2 * cos^2a - cosa = cosa * (2 * cosa - 1);

Подставляем преобразованные числитель и знаменатель в дробь, получаем:

(sina * (2 * cosa - 1)) / (cosa * (2 * cosa - 1)) = sina/cosa = tga