Найти производные у " у' и у"' следущих функций у = (1+х) * аrtgx

Поскольку производная от функции аrtg (x) равна 1 / (1 + х²), то используя формулу производной от произведения двух функций можем записать:

у' = ((1 + х) * аrtg (x)) ' = (1 + х) ' * аrtg (x) + (1 + х) * аrtg' (x) = аrtg (x) + (1 + х) / (1 + х²);

у'' = (аrtg (x) + (1 + х) / (1 + х²)) ' = аrtg' (x) + ((1 + х) / (1 + х²)) ' = 1 / (1 + х²) + ((1 + х) ' * (1 + х²) - (1 + х) * (1 + х²) ') / (1 + х²) ² = 1 / (1 + х²) + ((1 + х²) - (1 + х) * 2 х) / (1 + х²) ² = 1 / (1 + х²) + (1 - 2 х - х²) / (1 + х²) ² = 1 / (1 + х²) + (1 - 2 х - х²) / (1 + х²) ² = (1 + х²) / (1 + х²) ² + (1 - 2 х - х²) / (1 + х²) ² = (1 + х² + 1 - 2 х - х²) / (1 + х²) ² = (2 - 2 х) / (1 + х²) ².

y''' = ((2 - 2 х) / (1 + х²) ²) ' = 2 * ((1 - х) / (1 + х²) ²) ' = 2 * ((1 - х) ' * (1 + х²) ² - (1 - х) * ((1 + х²) ² ) ') / (1 + х²) ⁴ = 2 * ( - (1 + х²) ² - (1 - х) * 2 * (1 + х²) * 2x) / (1 + х²) ⁴ = 2 * (1 + х²) * (-1 - х² - (1 - х) * 4x) / (1 + х²) ⁴ = 2 * (-1 - х² - 4x + 4x²) / (1 + х²) ³ = 2 * (3 х² - 4x - 1) / (1 + х²) ³.

Ответ:

у' = аrtg (x) + (1 + х) / (1 + х²);

у'' = (2 - 2 х) / (1 + х²) ²;

y''' = (6 х² - 8x - 2) / (1 + х²) ³.