Решите неравенство log1/3x>=logx 3-2,5

Применим формулу перехода к новому основанию:

log _1/3 х ≥ log _х 3 - 2,5;

log ₃ ^{( - 1)} х ≥ 1/log ₃ х - 2,5;

- 1 * log ₃ х ≥ 1/log ₃ х - 2,5;

Выполним замену:

log ₃ х = у;

- у ≥ 1/у - 2,5;

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

- у - 1/у + 2,5 ≥ 0;

( - у² + 2,5y - 1) / у ≥ 0;

у ≠ 0;

y² - 2,5y + 1 ≤ 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 2,5) ² - 4 * 1 * 1 = 6,25 - 4 = 2,25;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (2,5 - √2,25) / 2 * 1 = (2,5 - 1,5) / 2 = 1/2;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (2,5 + √2,25) / 2 * 1 = (2,5 + 1,5) / 2 = 4 / 2 = 2;

+ - +

---• (1/2) - --• (2) - --

y ∈ [ 1/2; 2];

Составим систему уравнений:

{1/2 ≤ y ≤ 2;

Подставим нашу переменную назад:

log ₃ х = у;

1/2 ≤ log ₃ х ≤ 2;

Преобразуем числовой коэффициент справа и слева в логарифм:

2 = 2log ₃ 3 = log ₃ 3 ²;

1/2 = 1/2log ₃ 3 = log ₃ 3 ^1/2;

log ₃ 3 ^1/2 ≤ log ₃ х ≤ log ₃ 3 ²;

Заметим, что основания логарифмов 0 < 3 < 1. Из равенства основания логарифмов следует:

√3 ≤ х ≤ 9;

х ∈ [√3; 9];

Ответ: х ∈ [√3; 9];