Докажите что число 2016^2+2016^2*2017^2+2017^2 является полным квадратом

2016^2 + 2016^2 * 2017^2 + 2017^2.

Введем переменную, пусть 2016 = а, тогда 2017 будет равно (а + 1).

Получается выражение:

а^2 + a^2 * (a + 1) ^2 + (a + 1) ^2.

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

а^2 + a^2 * (a + 1) ^2 + (a + 1) ^2 = а^2 + a^2 * (a^2 + 2a + 1) + (a^2 + 2a + 1) = а^2 + a^4 + 2 * a^2 * a + a^2 + a^2 + 2a + 1 = (а^4 + 2 * a^2 * a + a^2) + (2a^2 + 2a) + 1.

Выражение в первой скобке можно свернуть по формуле квадрата суммы, а из второй скобки вынести число 2:

(а^4 + 2 * a^2 * a + a^2) + (2a^2 + 2a) + 1 = (a^2 + a) ^2 + 2 (a^2 + a) + 1.

Так как 1 = 1^2, то выражение можно свернуть еше раз по формуле квадрата суммы:

(a^2 + a) ^2 + 2 (a^2 + a) * 1 + 1^2 = (a^2 + a + 1) ^2.

Вернемся к замене а = 2016 и а + 1 = 2017, получается квадрат выражения:

(2016^2 + 2017) ^2.