Найдите наибольший общий делитель многочленов f (x) = x^4 - 7*x^3 + 11*x^2 + 7*x - 12 и f (x) = x^3 - 9*x^2 - x + 9

Разложим на множители оба многочлена.

1) f (x) = x⁴ - 7x³ + 11x² + 7x - 12 = (х - х₁) (х - х₂) (х - х₃) (х - х₄) (х₁, х₂, х₃ и х₄ - корни многочлена).

Корнями многочлена являются делители свободного члена (в данном случае это число - 12) : 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12 или - 12.

Пробуем х₁ = 1, поделим многочлен на (х - 1) как обычные числа, в столбик:

(x⁴ - 7x³ + 11x² + 7x - 12) : (х - 1) = х³ - 6 х² + 5 х + 12.

Пробуем х₂ = - 1, поделим получившийся многочлен на (х + 1):

(х³ - 6 х² + 5 х + 12) : (х + 1) = х² - 7 х + 12.

Корнями данного квадратного многочлена по теореме Виета являются числа 3 и 4. Значит, х₃ = 3, х₄ = 4.

Следовательно, f (x) = x⁴ - 7x³ + 11x² + 7x - 12 = (х - 1) (х + 1) (х - 3) (х - 4) = (х² - 1) (х - 3) (х - 4).

2) Разложим второй многочлен на множители методом группировки:

f (x) = x³ - 9x² - x + 9 = х² (х - 9) - (х - 9) = (х² - 1) (х - 9).

Как видно, общий делитель обоих многочленов является (х² - 1).

Ответ: наибольший общий делитель равен (х² - 1).