2sinx-cosx=Корень из 5/2

Возведём правую и левую часть уравнения в квадрат.

4 sin²x - 4 sinx cosx + cos²x=5/2.

Умножим обе части уравнения на число 2, чтобы не было дробей.

8 sin²x - 8 sinx cosx + 2cos²x=5.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin²x+cos²x=1 для преобразования

числа 5 в правой части уравнения.

8 sin²x - 8 sinx cosx + 2cos²x=5sin²x + 5cos²x.

Перегруппируем слагаемые.

3 sin²x - 8 sinx cosx - 3cos²x=0.

Здесь каждое слагаемое второго порядка, а правая часть равна нулю. Из исходного уравнения следует,

что cosx≠0. Поделим уравнение на cos²x. Получаем.

3 tg²x - 8 tgx - 3=0. Это квадратное уравнение относительно тангенса. Решаем его.

D=8²-4·3· (-3) = 64+36=100.

tgx = (8±√D) / (2·3) = (8±10) / 6 = (4±5) / 3.

Отсюда следует, что tgx=3 или tgx=-1/3. Первое уравнение соответствует условию sinx=3cosx. Оно не

противоречит исходному уравнению. Второе уравнение соответствует условию sinx = - (1/3) cosx. Оно

также не противоречит исходному уравнению.

Ответ: x = arctg 3 + π·n; x = - arctg (1/3) + π·k; где n и k - целые числа.