Доказать, что сумма любых последовательных натуральных чисел делится на 7 без остатка.

Обозначим через n первое, наименьшее число из данной последовательности семи последовательных натуральных чисел.

Тогда второе, третье, четвертое, пятое, шестое и седьмое числа их этой последовательности будут равны соответственно n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5 и n + 6.

Найдем, чему равна сумма этих семи чисел:

n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 + n + 6 = 7n + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7n + 21 = 7 * (n + 3).

Так как эту сумму можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых равен 7, то эта сумма делится на 7 без остатка при любом n.