Найдите сумму десяти членов арифметической прогрессии, если a5=9, a2+a9=20

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия;

a₅ = 9;

a₂ + a₉ = 20.

Найти: S₁₀.

Выразим пятый член прогрессии формулой n-го члена:

a_n = a₁ + d * (n - 1), a₅ = a₁ + d * (5 - 1), отсюда a₁ + 4d = 9, т. е. a₁ = 9 - 4d.

Теперь выразим второй и девятый члены прогрессии:

а₂ = a₁ + d * (2 - 1) = a₁ + d,

a₉ = a₁ + d * (9 - 1) = a₁ + 8d.

Т. к. по условию a₂ + a₉ = 20, то a₁ + d + a₁ + 8d = 20, т. е. 2a₁ + 9d = 20.

Составим и решим систему уравнений:

a₁ = 9 - 4d, (1)

2a₁ + 9d = 20 (2)

Подставим a₁ во (2) уравнение и решим его отдельно:

2a₁ + 9d = 20;

2 * (9 - 4d) + 9d = 20;

18 - 8d + 9d = 20;

d = 2.

Подставляем полученное значение d в (1) уравнение:

a₁ = 9 - 4d = 9 - 4 * 2 = 1.

Теперь выразим десятый член прогрессии:

а₁₀ = a₁ + d * (10 - 1) = a₁ + 9d = 1 + 9 * 2 = 19.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2;

Т. о., S₁₀ = (1 + 19) * 10 / 2 = 20 * 10 / 2 = 100.

Ответ: S₁₀ = 100.