Найти пределы: 1) lim (1+4/n) ^n+3 2) lim (1-1/3n) ^n 3) lim (n/n+1) ^n 4) lim (1+1/n) ^n+4 5) lim n [ln (n+3) - ln n] 6) lim (1+2/n) ^3n

Yет смысла применять правило Лопиталя, нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

(1 + 4/n) ^n + 3 = 3 + e^ (4) = 57.598

lim (1-1/3n) ^n = 0

lim (n/n+1) ^n = ∞

lim (1+1/n) ^n+4 = e+4

применили правило Лопиталя

lim n [ln (n+3) - ln n] = lim (n (-log (n) + log (n+3))) = limn→∞ ((-log⁡ (n) + log⁡ (n+3)) ^2 / ((-1/n+3) + (1/n)) = 3

Возьмём предел

limn→∞ (1+2/n) ^3n сделаем замену u=n/2

limn→∞ (1+2/n) ^3n=limu→∞ (1+1/u) ^6u

есть второй предел, он равен e тогда

(limu→∞ (1+1/u) ^u) ^6=e^6

Получаем окончательный ответ

limn→∞ (1+2n) 3n=e6