1 уравнение (x+1) y'+y=x^3+x^2

Данное уравнение является неоднородным линейным уравнением первого порядка. Решим сначала однородное уравнение:

(x + 1) y' + y = 0;

(x + 1) ⋅ dy/dx + y = 0;

∫dy/y = - ∫dx / (x + 1);

ln y = - ln (x + 1) + ln C;

y = C / (x + 1).

Теперь решим неоднородное уравнение методом Лагранжа, считая неизвестную константу функцией:

y = C / (x + 1);

y' = C' / (x + 1) - C / (x+1) ²;

(x + 1) (C' / (x + 1) - C / (x+1) ²) + C / (x + 1) = x³ + x²;

C' = x³ + x²;

C = x⁴/4 + x³/3 + D.

Ответ: y = (x⁴/4 + x³/3 + D) / (x + 1), D = const.